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La forme générale donnée par Tilman (1982), en utilisant sa notation, pour un système avec un nombre arbitraire de densités de population de consommateurs ni (t) et les abondances de ressources RJ (t), les variables d`État du système, est Tilman, D. 1982. La concurrence des ressources et la structure communautaire. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 296pp. Si 0 < R * < sR, et le même pour l`autre ressource, il s`agit d`un équilibre stable. Étant donné que les densités de ressources stables sont fixées, les taux de production des ressources ainsi que les deux taux de consommation qui les compensent. Le consommateur n`a pas le choix, le ratio de consommation des deux ressources différentes est déterminé par celui des deux facteurs de conversion q. Ces facteurs de conversion ont été introduits dans le modèle pour permettre une différence d`augmentation de la densité des consommateurs, en termes d`individus par unité de surface ou de volume, et la diminution correspondante de la densité des ressources, dans des unités similaires. Dans le réglage, nous avons utilisé les q sont des facteurs de rendement inverse. Si les densités sont exprimées en biomasse au lieu de densités individuelles, les q peuvent être comprises comme déterminant l`efficacité du processus, mais encore une fois nous devons être prudents. Si la ressource est par exemple le sel, et une deuxième ressource comme l`eau en raison de sa grande disponibilité est laissée hors du modèle, une petite consommation de sel pourrait conduire à une augmentation considérable de la biomasse.

Il aide dans un tel cas à utiliser le poids sec pour définir la biomasse, mais cela ne fait que réduire l`écart. Pour les ressources essentielles, comme nous l`avons utilisé dans les calculs numériques, certains auteurs (Dybzinski et Tilman 2012; Alstad 2007) supposent que le ratio de la ressource est le même que celui des densités minimales requises pour compenser la mortalité nous utiliserons le programme POPULUS pour explorer le modèle de la concurrence des ressources de Tilman. Note: nous utiliserons l`option «concours pour les ressources essentielles» pour modéliser la concurrence pour 2 ressources limitantes. Utilisez un modèle d`ordinateur basé sur le modèle de concurrence des ressources de Tilman pour évaluer la façon dont la dynamique des ressources peut influencer le résultat de la concurrence. S`il y a plus de points d`intersection satisfaisant (31), il peut y avoir des équitels supplémentaires du même type. Les inégalités (35) et (36) sont liées à l`analyse graphique habituelle du modèle de Tilman dans le plan PR (Tilman 1980; voir aussi Ballyk et Wolkowicz 2011, pour une description détaillée d`une approche légèrement différente). Pour le cas où les a sont les mêmes, un choix commun pour un chemostat, les deux inégalités affirment que le point d`approvisionnement réside dans le coin entre les lignes à travers (P *, R *), avec des pentes données par les ratios des facteurs de conversion. Les vecteurs de direction de ces lignes sont appelés vecteurs de consommation. Le cas le plus simple du modèle Tilman que nous étudions est celui d`un consommateur unique et d`une ressource unique. Nous adoptons une notation simplifiée; au lieu de N1 nous utilisons B (un second consommateur A est introduit plus tard), au lieu de R1 nous écrivons R (et une seconde ressource est nommée P). Les équations de modèle pour une seule espèce B en fonction d`une ressource unique R sont l`analyse graphique et les simulations informatiques sont devenues les outils privilégiés pour présenter le modèle de la concurrence des ressources de Tilman à de nouvelles générations d`écologistes.

Pour vraiment comprendre le comportement dynamique complet, une analyse mathématique plus rigoureuse est nécessaire. Nous montrons que juste une analyse de stabilité de base est insuffisante pour décrire la dynamique pertinente de ce modèle faussement simple. Pour enquêter sur les processus d`invasion et de succession réalistes, non seulement l`état stable est pertinent, mais aussi les échelles de temps au cours desquelles le système s`éloigne de la situation instable.